Dois números têm uma diferença de 20. Como você encontra os números se a soma de seus quadrados é um mínimo?

Responda:

#-10,10#

Explicação:

Dois números # n, m # de tal modo que # n-m = 20 #

A soma dos seus quadrados é dada por

# S = n ^ 2 + m ^ 2 # mas #m = n-20 # assim

# S = n ^ 2 + (n-20) ^ 2 = 2n ^ 2-40n + 400 #

Como podemos ver, #S (n) # é uma parábola com um mínimo de

# d / (dn) S (n_0) = 4n_0-40 = 0 # ou em # n_0 = 10 #

Os números são

# n = 10, m = n-20 = -10 #

Responda:

10 e -10

Resolvido sem cálculo.

Explicação:

Na resposta de Cesareo # d / (dn) S (n_0) # é cálculo. Vamos ver se podemos resolver isso sem cálculo.

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#color (magenta) ("Deixe o primeiro número ser" x) #

Deixe o segundo número ser # x + 20 #

Conjunto # "" y = x ^ 2 + (x + 20) ^ 2 #

# y = x ^ 2 + x ^ 2 + 40x + 400 #

# y = 2x ^ 2 + 40x + 400 larr "" y "é a soma dos quadrados" #

#color (vermelho) ("Portanto, precisamos encontrar o valor de x que fornece o valor mínimo") # #color (vermelho) ("of" y) #

Esta equação é quadrática e como o # x ^ 2 # termo é positivo, então a sua forma geral é de forma # uu #. Assim, o vértice é o valor mínimo para # y #

Escreva como # y = 2 (x ^ 2 + 20x) + 400 #

O que segue é parte do processo para completar o quadrado.

Considere os 20 de # 20x #

#color (magenta) ("Então o primeiro número é:" x _ ("vertex") = (- 1/2) xx20 = -10) #

Assim, o primeiro número é # x = -10 #

O segundo número é # "" x + 20 = -10 + 20 = 10 #

# "" cor (verde) (bar (ul (| cor (branco) (2/2) "Os dois números são: -10 e 10" |))) #