Quais são os pontos extremos e de sela de f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2))?

Responda:

# {: ("Ponto Crítico", "Conclusão"), ((0,0,0), "sela"):} #

Explicação:

A teoria para identificar os extremos de # z = f (x, y) # é:

Resolva simultaneamente as equações críticas

# (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial y) = 0 # (ie # f_x = f_y = 0 #)
Avalie #f_ (x x), f_ (yy) e f_ (xy) (= f_ (yx)) # em cada um desses pontos críticos. Por isso avalie # Delta = f_ (x x) f_ (aa) -f_ (xy) ^ 2 # em cada um desses pontos
Determine a natureza dos extremos;

# {: (Delta> 0, "Há um mínimo se" f_ (xx) <0), (, "e um máximo se" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "há um ponto de sela"), (Delta = 0, "Mais análise é necessária"):} #

Então nós temos:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Vamos encontrar as primeiras derivadas parciais:

# (parcial f) / (parcial x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))}

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (parcial f) / (parcial y) = {(xy) (2yy ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Portanto, nossas equações críticas são:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) -se ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

A partir dessas equações, temos:

# y = 0 # ou # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # ou # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

E a única solução simultânea é # x = y = 0 #

E então nós temos 1 ponto crítico na origem

Então, agora vamos olhar as segundas derivadas parciais para que possamos determinar a natureza do ponto crítico (vou apenas citar esses resultados):

# (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (parcial ^ 2f) / (parcial y parcial x)) #

E devemos calcular:

# Delta = (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2) (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2) - ((parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y)) ^ 2 #

em cada ponto crítico. Os segundos valores derivados, #Delta#e conclusão são as seguintes:

# {: ("Ponto Crítico", (parcial ^ 2f) / (parcial x ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial y ^ 2), (parcial ^ 2f) / (parcial x parcial y), Delta, "Conclusão"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "incluclusive"):} #

Assim, depois de todo esse trabalho, é bastante decepcionante obter um resultado inclusivo, mas, se examinarmos o comportamento em torno do ponto crítico, podemos prontamente estabelecer que é um ponto de sela.

Podemos ver esses pontos críticos se olharmos para um enredo em 3D:

Quais são os pontos extremos e de sela de f (x) = 2x ^ 2 lnx?

O domínio da definição de: f (x) = 2x ^ 2lnx é o intervalo x em (0, + oo). Avalie a primeira e a segunda derivadas da função: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Os pontos críticos são as soluções de: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 e como x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Neste ponto: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, então o ponto crítico é um mínimo local. Os pontos de sela são as soluções de: f '' (x) = 0 6 + lnx

Quais são os pontos extremos e de sela de f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Esta função não tem pontos estacionários (você tem certeza que f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2-y / x é o que você queria estudar ?!). De acordo com a definição mais difundida de pontos de sela (pontos estacionários que não são extremos), você está procurando os pontos estacionários da função em seu domínio D = (x, y) em RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) em RR ^ 2}. Podemos agora reescrever a expressão dada para f da seguinte maneira: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x A maneira de identificá-los é procurar os po

Quais são os pontos extremos e de sela de f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

{: ("Ponto Crítico", "Conclusão"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sela"), ((-1,2), "sela" ), ((-5 / 3,0), "max"):} A teoria para identificar os extremos de z = f (x, y) é: Resolva simultaneamente as equações críticas (parcial f) / (parcial x) = (parcial f) / (parcial y) = 0 (ie z_x = z_y = 0) Avalie f_ (xx), f_ (yy) e f_ (xy) (= f_ (yx)) em cada um desses pontos críticos . Portanto, avalie Delta = f_ (xx) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 em cada um desses pontos Determine a natureza dos extremos; {: (Delta> 0, "Há um mínimo s