Qual é o valor mínimo de g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? no intervalo [-2,2]?

Responda:

O valor mínimo é de # x = 1-sqrt 5 approx "-" 1,236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) aprox "-" 0,405 #.

Explicação:

Em um intervalo fechado, os possíveis locais para um mínimo serão:

• um mínimo local dentro do intervalo, ou
• os pontos finais do intervalo.

Portanto, calculamos e comparamos valores para #g (x) # em qualquer #x em "-2", 2 # isto faz #g '(x) = 0 #, bem como em #x = "- 2" # e # x = 2 #.

Primeiro: o que é #g '(x) #? Usando a regra do quociente, obtemos:

#g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (branco) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (branco) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Isso será igual a zero quando o numerador for zero. Pela fórmula quadrática, obtemos

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 aproximadamente {"-1,236", 3,236} #

Apenas um desses # x #-valores está em #'-2',2#, e isso é # x = 1-sqrt 5 #.

Agora, calculamos:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0,375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (branco) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * cor (azul) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (branco) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (branco) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) aprox "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Comparando estes três valores de #g (x) #, nós vemos que #g (1-sqrt 5) # é o menor. assim # - (1+ sqrt 5) / 8 # é o nosso valor mínimo para #g (x) # em #'-'2, 2#.