Como você simplifica root3 (1)?

Responda:

#1# ou #1^(1/3)# =#1#

Explicação:

A raiz em cubos de 1 é o mesmo que elevar 1 ao poder de #1/3#. 1 para o poder de qualquer coisa ainda é 1.

Responda:

Trabalhando nos reais obtemos #root 3 {1} = 1 #.

Cada número complexo diferente de zero tem três raízes cúbicas, portanto,

#root 3 {1} = 1 ou -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Explicação:

Se estamos trabalhando em números reais, apenas notamos #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. Eu vou assumir que isso é sobre números complexos.

Uma das coisas estranhas que descobrimos quando nos aprofundamos em números complexos é que a função #f (z) = e ^ {z} # é periódico. Crescimento exponencial é uma espécie de oposto de periódico, então isso é uma surpresa.

O fato chave é a identidade de Euler ao quadrado. Eu chamo isso A verdadeira identidade de Euler.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

A verdadeira identidade de Euler mostra # e ^ z # é periódico com período # 2pi eu #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Podemos aumentar a Identidade Verdadeira de Euler para qualquer poder inteiro #k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

O que tudo isso tem a ver com a raiz cúbica de um? É a chave. Diz que há um número infinito de maneiras de escrever uma. Alguns deles têm diferentes raízes cúbicas do que outros. É por isso que expoentes não inteiros dão origem a múltiplos valores.

Isso é tudo uma grande conclusão. Normalmente eu começo isso escrevendo:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # para inteiro #k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

O último passo é claro, a fórmula de Euler # e ^ {i theta} = cos teta + i sin theta. #

Desde que nós temos o # 2pi # periodicidade das funções trigonométricas (que decorre da periodicidade do exponencial e da fórmula de Euler), temos apenas valores únicos para três #k #s. Vamos avaliar isso para # k = 0,1, -1 #:

#k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

#k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

#k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i pecado (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Então nós temos três valores para a raiz cúbica de um:

#root 3 {1} = 1 ou -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #