O que é f '(- pi / 3) quando você recebe f (x) = sin ^ 7 (x)?

Isto é # (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 #

Método

#f (x) = sin ^ 7 (x) #

É muito útil reescrever isso como #f (x) = (sin (x)) ^ 7 # porque isso deixa claro que o que temos é um # 7 ^ (th) # Função liga-desliga.

Use a regra de energia e a regra da cadeia (essa combinação é geralmente chamada de regra de poder generalizado).

Para #f (x) = (g (x)) ^ n #, o derivado é #f '(x) = n (g (x)) ^ (n-1) * g' (x) #, Em outra notação # d / (dx) (u ^ n) = n u ^ (n-1) (du) / (dx) #

Em ambos os casos, para sua pergunta #f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) #

Você pode escrever #f '(x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) #

No # x = - pi / 3 #, temos

#f '(- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = (7sqrt3) / 2 ^ 7 #

# "let" y = f (x) # # => dy / dx = f '(x) #

# => y = sin ^ 7 (x) #

# "let" u = sin (x) => y = u ^ 7 #

# du / dx = cos (x) #

# dy / du = 7 * u ^ 6 #

Agora, #f '(x) = (dy) / (dx) #

# = (d) / (du) * (du) / (dx) # {Você concorda?}

# = 7u ^ 6 * cosx #

mas lembre-se #u = sin (x) #

# => f '(x) = 7sin ^ 6 (x) cos (x) #

# => f '(- pi / 3) = 7 * (sin (-pi / 3)) ^ 6 ** cos (-pi / 3) #

# = 7 (-sqrt (3) / 2) ^ 6 ** (1/2) #

Você tem a honra de simplificar

NOTA:

{

me perguntando por que estou fazendo tudo isso "deixar coisas"?

a razão é que há mais de uma função em #f (x) #

** há: # sin ^ 7 (x) # e tem #sin (x) #!!

Então, para encontrar o #f '(x) # Eu preciso encontrar o # f '# do # sin ^ 7 (x) #

E a # f '# do #sin (x) #

é por isso que eu preciso deixar # y = f (x) #

então deixa #u = sin (x) #

}