Seja f uma função contínua: a) Encontre f (4) se _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sen πx para todo x. b) Encontre f (4) se _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sen πx para todo x?

Responda:

a) #f (4) = pi / 2 #; b) #f (4) = 0 #

Explicação:

a) Diferencie os dois lados.

Através do Segundo Teorema Fundamental do Cálculo no lado esquerdo e as regras do produto e da cadeia no lado direito, vemos que a diferenciação revela que:

#f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix) #

De locação # x = 2 # mostra que

#f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) #

#f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

#f (4) = pi / 2 #

b) Integre o termo interior.

# int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) #

# t ^ 3/3 _0 ^ f (x) = xsin (pix) #

Avalie.

# (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) #

# (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) #

Deixei # x = 4 #.

# (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) #

# (f (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

#f (4) = 0 #