A força aplicada contra um objeto que se move horizontalmente em um caminho linear é descrita por F (x) = x ^ 2-3x + 3. Em quanto a energia cinética do objeto muda à medida que o objeto se move de x em [0, 1]?

Responda:

Segunda lei do movimento de Newton:

# F = m * a #

Definições de aceleração e velocidade:

# a = (du) / dt #

# u = (dx) / dt #

Energia cinética:

# K = m * u ^ 2/2 #

A resposta é:

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Segunda lei do movimento de Newton:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

Substituindo # a = (du) / dt # não ajuda com a equação, uma vez que # F # não é dado como uma função de # t # mas como uma função de # x # Contudo:

# a = (du) / dt = (du) / dt * (dx) / dx = (dx) / dt * (du) / dx #

Mas # (dx) / dt = u # assim:

# a = (dx) / dt * (du) / dx = u * (du) / dx #

Substituindo a equação que temos, temos uma equação diferencial:

# x ^ 2-3x + 3 = m * u (du) / dx #

# (x ^ 2-3x + 3) dx = m * udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) dx = int_ (u_1) ^ (u_2) m * udu #

As duas velocidades são desconhecidas, mas as posições # x # são conhecidos. Além disso, a massa é constante:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) dx = m * int_ (u_1) ^ (u_2) udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * u ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2/2 u_1 ^ 2/2) #

# 11/6 = m * u_2 ^ 2/2-m * u_2 ^ 2/2 #

Mas # K = m * u ^ 2/2 #

# 11/6 = K_2-K_1 #

# ΔK = 11/6 # # kg * m ^ 2 / s ^ 2 #

Nota: as unidades são # kg * m ^ 2 / s ^ 2 # somente se as distâncias dadas # (x em 0,1) # estão em metros.