Considere 3 círculos iguais de raio r dentro de um dado círculo de raio R cada para tocar os outros dois e o círculo dado como mostrado na figura, então a área da região sombreada é igual a?

Podemos formar uma expressão para a área da região sombreada da seguinte forma:

#A_ "sombreado" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" #

Onde #A_ "center" # é a área da pequena seção entre os três círculos menores.

Para encontrar a área, podemos desenhar um triângulo conectando os centros dos três círculos brancos menores. Como cada círculo tem um raio de # r #, o comprimento de cada lado do triângulo é # 2r # e o triângulo é equilateral, então tem ângulos de # 60 ^ o # cada.

Podemos assim dizer que o ângulo da região central é a área deste triângulo menos os três setores do círculo. A altura do triângulo é simplesmente #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, então a área do triângulo é # 1/2 * base * altura = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

A área dos três segmentos circulares dentro deste triângulo é essencialmente a mesma área que a metade de um dos círculos (devido a ter ângulos de # 60 ^ o # cada, ou #1/6# um círculo, para que possamos deduzir a área total desses setores a ser # 1/2 pir ^ 2 #.

Finalmente, podemos trabalhar na área da região central a ser #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Assim, voltando à nossa expressão original, a área da região sombreada é

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Responda:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Explicação:

Vamos dar aos círculos brancos um raio de # r = 1 #. Os centros formam um triângulo equilateral de lado #2#. Cada mediana / altitude é #sqrt {3} # então a distância de um vértice para o centróide é # 2/3 sqrt {3} #.

O centróide é o centro do grande círculo, de modo que a distância entre o centro do grande círculo e o centro do pequeno círculo. Nós adicionamos um pequeno raio de # r = 1 # para obter

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

A área que procuramos é a área do grande círculo menos o triângulo equilátero e o restante #5/6# de cada pequeno círculo.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Nós escalamos por # r ^ 2 # em geral.