Responda:
#3:# # pi / 3 #
Explicação:
Nós temos:
#sum_ (n = 0) ^ oosin ^ n (teta) = 2sqrt (3) + 4 #
#sum_ (n = 0) ^ oo (sin (teta)) ^ n = 2sqrt (3) + 4 #
Podemos tentar cada um desses valores e ver o que dá # 2sqrt3 + 4 #
#f (r) = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n = 1 / (1-r) #
#f ((3pi) / 4) - = f (pi / 4) = 1 / (1-sin (pi / 4)) = 2 + sqrt2 #
#f (pi / 6) = 1 / (1-sin (pi / 6)) = 2 #
#f (pi / 3) = 1 / (1-sin (pi / 3)) = 2sqrt3 + 4 #
# pi / 3- = 3 #
Existe outro caminho, usando a progressão geométrica.
A série é # 1 + sineta + (sinteta) ^ 2 + (sineta) ^ 3 + …. + oo # que pode ser escrito como
# (sintheta) ^ 0 + sintheta + (sintheta) ^ 2 + (sinteta) ^ 3 + …. + oo # # porque "qualquer coisa" ^ 0 = 1 #
Nosso primeiro termo de progressão # a = 1 # e proporção comum entre cada termo da série é # r = sintheta #
A soma de uma série progressiva geométrica infinita é dada por:
# S_oo = a / (1-r), r 1 #
Conectando os valores que temos
# S_oo = 1 / (1-sineta) #
Mas, # S_oo = 2sqrt3 + 4 # é dada.
Assim, # 1 / (1-sineta) = 2sqrt3 + 4 #
# => 1 / (2sqrt3 + 4) = 1-sintheta #
Racionalizando o denominador no lado esquerdo, # => cor (vermelho) ((2sqrt3-4)) / ((2sqrt3 + 4) cor (vermelho) ((2sqrt3-4))) = 1-sintheta #
# => (2sqrt3-4) / (12-16) = 1-sintheta # # porque (a + b) (a-b) = a ^ 2 + b ^ 2 #
# => - (2sqrt3-4) / 4 = 1-sintheta #
# => - (cancel2sqrt3) / cancel4 ^ 2 + 4/4 = 1-sintheta #
# => -sqrt3 / 2 + cancel1 = cancel1-sintheta #
# => cancel-sqrt3 / 2 = cancel-sintheta #
# => sqrt3 / 2 = sintheta #
# => theta = sin ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #
# => theta = 60 ° = π / 3 #
Espero que isto ajude.:)
