Quais são as assíntotas e orifícios, se houver, de f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3x ^ 2)?

Responda:

# x = 0 # é uma assíntota.

# x = 1 # é uma assíntota.

#(3, 5/18)# é um buraco.

Explicação:

Primeiro, simplifiquemos nossa fração sem cancelar nada (já que vamos tomar limites e cancelar coisas pode mexer com isso).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Agora: buracos e assíntotas são valores que fazem uma função indefinida. Como temos uma função racional, ela será indefinida se e somente se o denominador for igual a 0. Portanto, precisamos apenas verificar os valores de # x # que fazem o denominador #0#, que são:

# x = 0 #

# x = 1 #

# x = 3 #

Para descobrir se são assíntotas ou buracos, vamos tomar o limite de #f (x) # Como # x # aborda cada um desses números.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3)) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1) (x-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -oo #

assim # x = 0 # é uma assíntota.

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -oo #

assim # x = 1 # é uma assíntota.

#lim_ (x -> 3) (x (x - 3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x - 1) (x - 3)) = lim_ (x -> 3) ((x + 2))) / (x ^ 2 (x-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

assim #(3, 5/18)# é um buraco #f (x) #.

Resposta final