Responda:
Centro: #(2,-1)#
Vértices: # (2, 1/2) e (2, -5 / 2) #
Co-Vertices: # (1, -1) e (3, -1) #
Focos: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) e (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Excentricidade: #sqrt (5) / 3 #
Explicação:
A técnica que queremos usar é chamada de preenchimento do quadrado. Vamos usá-lo no # x # termos primeiro e depois o # y #.
Reorganizar para
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31 #
Focando em # x #, divida através do # x ^ 2 # coeficiente e adicionar o quadrado de metade do coeficiente do # x ^ 1 # prazo para ambos os lados:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9 #
Divide por por # y ^ 2 # coeficiente e adicionar quadrado de metade do coeficiente do # y ^ 1 # prazo para ambos os lados:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Dividido por #9/4# para simplificar:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Equação geral é
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
Onde # (a, b) # é o centro e #h, k # são o semi-menor / maior eixo.
A leitura do centro dá #(2, -1)#.
Neste caso, o # y # direção tem um valor maior do que o # x #, então a elipse será esticada no # y # direção. # k ^ 2> h ^ 2 #
Os vértices são obtidos movendo o eixo maior a partir do centro. Ou seja # + - sqrt (k) # adicionado à coordenada y do centro.
Isto dá # (2, 1/2) e (2, -5/2) #.
Os co-vértices estão no eixo menor. Nós adicionamos # + - sqrt (h) # à coordenada x do centro para encontrá-los.
# (1, -1) e (3, -1) #
Agora, para encontrar os focos:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 implica c = + -sqrt (5) / 2 #
Foci estará situado ao longo da linha #x = 2 # a # + - sqrt (5) / 2 # de #y = -1 #.
#assim sendo# focos em # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) e (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Finalmente, a excentricidade é encontrada usando
# e = sqrt (1-h ^ 2 / k ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
