Como você integra f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) usando frações parciais?

Responda:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Explicação:

Como o denominador já é fatorado, tudo o que precisamos para fazer frações parciais é resolver para as constantes:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Note que precisamos de um # x # e um termo constante na fração mais à esquerda porque o numerador é sempre de 1 grau menor que o denominador.

Poderíamos multiplicar através do denominador do lado esquerdo, mas isso seria uma enorme quantidade de trabalho, então podemos ser inteligentes e usar o método de encobrimento.

Eu não vou passar por cima do processo em detalhes, mas essencialmente o que fazemos é descobrir o que faz o denominador ser igual a zero (no caso de # C # isto é # x = 3 #), e plugando-o no lado esquerdo e avaliando enquanto encobre o fator correspondente à constante, isso dá:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (texto (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Nós podemos fazer o mesmo por # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (texto (////))) = 35/51 #

O método de encobrimento só funciona para fatores lineares, então somos forçados a resolver o problema #UMA# e # B # usando o método tradicional e multiplicando pelo denominador do lado esquerdo:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Se multiplicarmos por todos os parênteses e igualarmos todos os coeficientes dos vários # x # e termos constantes, podemos descobrir os valores de #UMA# e # B #. É um cálculo bastante longo, por isso vou deixar um link para quem estiver interessado:

Clique aqui

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Isto dá que nossa integral é:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

Os dois primeiros podem ser resolvidos usando substituições u simples dos denominadores:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11In | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Podemos dividir a integral restante em dois:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Vou chamar a esquerda Integral 1 e a direita Integral 2.

Integral 1

Podemos resolver esta integral por uma substituição de # u = x ^ 2 + 2 #. O derivado é # 2x #, então nós dividimos por # 2x # para integrar em relação a #você#:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancelar (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + c #

Integral 2

Queremos colocar essa integral no formulário para # tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + c #

Se introduzirmos uma substituição com # x = sqrt2u #, poderemos transformar nossa integral neste formulário. Para integrar em relação a #você#temos que multiplicar por # sqrt2 # (desde que tomamos a derivada em relação a #você# ao invés de # x #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Completando a integral original

Agora que sabemos o que é Integral 1 e Integral 2, podemos completar a integral original para obter nossa resposta final:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #