Por favor, alguém ajuda a resolver o problema?

Responda:

Experimente a mudança # x = tan u #

Ver abaixo

Explicação:

Nós sabemos isso # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Pela mudança proposta nós temos

# dx = sec ^ 2u du #. Vamos substituir na integral

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + c #

Assim, desfazendo a mudança:

# u = arctanx # e finalmente nós temos

#sin u + C = sin (arctanx) + c #

Responda:

#color (azul) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

Explicação:

Vamos tentar usar a Trigonometric Substitution para resolver esta integral. Para fazer isso, vamos construir um triângulo de ângulo reto #Delta ABC # e rotule os lados de tal maneira que usando a fórmula de Pitágoras, podemos derivar as expressões que estamos vendo no argumento da integral da seguinte forma:

Ângulo # / _ B = teta # tem lado oposto # x # e lado adjacente #1#. Usando a fórmula de Pitágoras:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # resulta em:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # como mostrado.

Agora, vamos escrever as três funções trigonométricas mais básicas para # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

Agora precisamos usar essas equações para resolver várias partes do argumento integral em termos trigonométricos. Vamos usar # tantheta #:

# tantheta = x #

Vamos tomar derivados de ambos os lados:

# seg ^ 2 theta d theta = dx #

De # costheta # equação, podemos resolver para #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Se elevarmos ambos os lados desta equação para o poder de #3# Nós temos:

# sec ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Agora, podemos substituir o que calculamos na integral do problema para transformá-lo em uma integral trigonométrica:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (seg ^ 2thetad theta) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (vermelho) (seg ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (vermelho) (sec ^ 2theta)) d teta = int1 / secthetad teta = int1 / (1 / costheta) d teta = intcosthetad teta = sintheta + c #

Agora, podemos substituir por # sintheta # e transformar nossa resposta de volta em uma expressão algébrica em termos de # x #:

#color (azul) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #