O número sqrt (104sqrt6 + 468sqrt10 + 144sqrt15 + 2006 pode ser escrito como asqrt2 + bsqrt3 + csqrt5, onde a, b e c são inteiros positivos. Calcule o produto abc?

Responda:

# abc = 1872 sqrt2 #

Explicação:

Dado que

# sqrt {104 sqrt6 + 468 sqrt10 + 144 sqrt15 + 2006} = a sqrt2 + b sqrt3 + c sqrt5 #

# 104 sqrt6 + 468 sqrt10 + 144 sqrt15 + 2006 = (a sqrt2 + b sqrt3 + c sqrt5) ^ 2 #

# 104 sqrt6 + 468 sqrt10 + 144 sqrt15 + 2006 = 2a ^ 2 + 3b ^ 2 + 5c ^ 2 + ab sqrt6 + ac sqrt10 + bc sqrt15 #

Ao comparar os coeficientes de # sqrt2, sqrt3 # & # sqrt5 # em ambos os lados ficamos

# ab = 104 #

# ac = 468 #

# bc = 144 #

Multiplicando acima de três equações, obtemos

#ab cdot ac cdot bc = 104 cdot 468 cdot 144 #

# (abc) ^ 2 = 104 cdot 468 cdot 144 #

# abc = sqrt {104 cdot 468 cdot 144} #

# abc = 12 cdot156 sqrt2 #

# abc = 1872 sqrt2 #