Qual é o valor mínimo de g (x) = x / csc (pi * x) no intervalo [0,1]?

Responda:

Existe um valor mínimo de #0# localizado tanto em # x = 0 # e # x = 1 #.

Explicação:

Primeiro, podemos escrever imediatamente esta função como

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Lembrando que #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Agora, para localizar valores mínimos em um intervalo, reconheça que eles podem ocorrer nos terminais do intervalo ou em quaisquer valores críticos que ocorram dentro do intervalo.

Para encontrar os valores críticos dentro do intervalo, defina a derivada da função igual a #0#.

E, para diferenciar a função, teremos que usar o Regra do produto. Aplicação da regra do produto nos dá

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Cada um desses derivados fornece:

# d / dx (x) = 1 #

E, através do regra de corrente:

# d / dx (pecado (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Combinando estes, vemos que

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Assim, valores críticos ocorrerão sempre

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Nós não podemos resolver isso algebricamente, então use uma calculadora para encontrar todos os zeros desta função no intervalo dado #0,1#:

gráfico {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Os dois valores críticos dentro do intervalo estão em # x = 0 # e # xapprox0.6485 #.

Então, sabemos que o valor mínimo de #g (x) # poderia ocorrer em #3# lugares diferentes:

• # x = 0 # ou # x = 1 #, os pontos finais do intervalo
• # x = 0 # ou # x = 0.6485 #, os valores críticos dentro do intervalo

Agora, conecte cada um desses valores possíveis no intervalo:

# {(g (0) = 0, cor (vermelho) texto (mínimo)), (g (0,6485) = 0,5792, cor (azul) texto (máximo)), (g (1) = 0, cor (vermelho) texto (mínimo)):} #

Uma vez que existem dois valores que são igualmente baixos, existem mínimos # x = 0 # e # x = 1 #. Note que apesar de termos encontrado o problema de # x = 0.6485 #, não foi nem um mínimo.

É representado graficamente #g (x) # no intervalo #0,1#:

gráfico {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Além disso, observe que o valor mínimo é #0#, Desde a #g (0) = g (1) = 0 #. A distinção é que # x = 0 # e # x = 1 # são as localizações dos mínimos.