Qual é a forma padrão da equação da parábola com uma diretriz em x = 9 e um foco em (8,4)?

Responda:

O formulário padrão é: #x = -1 / 2y ^ 2 + 4y + 1/2 #

Explicação:

Como a diretriz é uma linha vertical, sabe-se que a forma do vértice da equação da parábola é:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

Onde # (h, k) # é o vértice e # f # é a distância horizontal assinada do vértice ao foco.

A coordenada x do vértice a meio caminho entre a diretriz e o foco:

#h = (9 + 8) / 2 #

#h = 17/2 #

Substitua pela equação 1:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + 17/2 "2" #

A coordenada y do vértice é a mesma que a coordenada y do foco:

#k = 4 #

Substitua pela equação 2:

#x = 1 / (4f) (y-4) ^ 2 + 17/2 "3" #

O valor de # f # é a distância horizontal assinada do vértice até o foco #

#f = 8-17 / 2 #

#f = -1 / 2 #

Substitua pela equação 3:

#x = 1 / (4 (-1/2)) (y-4) ^ 2 + 17/2 #

Esta é a forma do vértice:

#x = -1/2 (y - 4) ^ 2 + 17/2 #

Expanda o quadrado:

#x = -1/2 (y ^ 2 -8y + 16) + 17/2 #

Use a propriedade distributiva:

#x = -1 / 2y ^ 2 + 4y-8 + 17/2 #

Combine termos semelhantes:

#x = -1 / 2y ^ 2 + 4y + 1/2 #

Aqui está um gráfico da forma padrão, o foco, o vértice e a diretriz: