O que é uma expansão de Taylor de e ^ (- 2x) centrada em x = 0?

Responda:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Explicação:

O caso de uma série Taylor expandiu-se #0# é chamado uma série de Maclaurin. A fórmula geral para uma série de Maclaurin é:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Para elaborar uma série para a nossa função, podemos começar com uma função para # e ^ x # e depois usar isso para descobrir uma fórmula para #e ^ (- 2x) #.

Para construir a série Maclaurin, precisamos descobrir a enésima derivada de # e ^ x #. Se tomarmos alguns derivativos, podemos ver rapidamente um padrão:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

De fato, a enésima derivada de # e ^ x # é apenas # e ^ x #. Podemos ligar isso à fórmula do Maclaurin:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo ^ 0 / (n!) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Agora que temos uma série de Taylor para # e ^ x #, podemos apenas substituir todo o # x #está com # -2x # para obter uma série para #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

qual é a série que estávamos procurando.