Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Você poderia resolver isso?

Responda:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Explicação:

Nós temos:

# (sen ^ 2x + cos ^ 2x) (sen ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sen ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sen (2x) senx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x-cosx - 2 (cosx-cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

Deixei #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Nós vemos que #u = -1 # é um fator. Usando a divisão sintética obtemos

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

A equação # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # pode ser resolvido usando a fórmula quadrática.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0,809 ou -0,309 #

Desde a #cosx = u #, Nós temos #x = pi / 5, (3pi) / 5 # e # pi #.

Onde # n # é um inteiro.

O gráfico de # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # e # y_2 = cos (3x) # confirma que as soluções são os pontos de interseção.

Espero que isso ajude!

Responda:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Explicação:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sen ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sen ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sen ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #ou

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Círculo unitário e propriedade de cos, dar ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

uma. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Se k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Se k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Se k = 0 -> #x = - pi / 5 #ou #x = (9pi) / 5 # (co-terminal)

Se k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

No intervalo fechado 0, 2pi, as respostas são:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Verifique pela calculadora.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = - 0,428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0,119 - 0,428 = - 309 #. Provado

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0,119 # --> # cos ^ 4 x = 0,428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0,309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0,309 #. Provado

Responda:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

Explicação:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sen ^ 2x + cos ^ 2x) (sen ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Ou #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi # # narrarr #

Responda:

A solução geral não requer a fórmula de triplo ângulo e é

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # ou # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

para inteiro #k #.

Explicação:

Eu não gosto de ler as respostas de outras pessoas antes de resolver uma questão sozinho. Mas uma resposta de destaque para este apareceu. Durante a minha rápida olhada eu não pude notar que parecia muito complicado para o que me parece uma pergunta relativamente fácil. Vou dar uma chance.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sen ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sen ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Eu estive em Socratic por um par de semanas, e isso está emergindo como meu tema: A solução geral para #cos x = cos a # é #x = pm a + 360 ^ circ k quad # para inteiro # k. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Nós tomamos as placas separadamente. Mais primeiro:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

Menos em seguida.

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

Se você ler isso de perto, você pode pensar que estou cometendo um erro com a maneira que eu manipulo #k #. Mas desde #k # varia ao longo de todos os inteiros, substituições como #k para -k # e #k para k + 1 # são permitidos e eu deslizo aqueles para manter os sinais #+# quando eles podem ser.

Verifica:

Vamos escolher um par para verificar. Eu sou geek o suficiente para saber #cos 36 ^ circ # é metade da Proporção Áurea, mas eu não vou resolver isso exatamente, apenas coloque-os no Wolfram Alpha para ter certeza.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 sq quad #