O círculo A tem um centro em (3, 5) e uma área de 78 pi. O círculo B tem um centro em (1, 2) e uma área de 54 pi. Os círculos se sobrepõem?

Responda:

sim

Explicação:

Primeiro, precisamos da distância entre os dois centros, que é # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 #

Agora precisamos da soma dos raios, já que:

#D> (r_1 + r_2); "Os círculos não se sobrepõem" #

# D = (r_1 + r_2); "Círculos apenas tocam" #

#D <(r_1 + r_2); "Círculos se sobrepõem" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, então os círculos se sobrepõem.

Prova:

gráfico {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36 12,64}

Responda:

Estes se sobrepõem se #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Podemos pular a calculadora e verificar # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # ou #4(13)(54) > 11^2# o que certamente é, então sim, se sobrepõem.

Explicação:

Área do círculo é claro #pi r ^ 2 # então dividimos a gratuidade # pi #s.

Nós temos raios quadrados

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

e quadrado distância entre os centros

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Basicamente, queremos saber se # r_1 + r_2 ge d #, ou seja, se podemos fazer um triângulo de dois raios e o segmento entre os centros.

Os comprimentos quadrados são todos inteiros bons e é bastante insano que todos instintivamente procuremos a calculadora ou o computador e começamos a ter raízes quadradas.

Nós não precisamos, mas requer um pequeno desvio. Vamos usar a fórmula de Heron, chamar a área # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # Onde # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Isso já é melhor que o Heron. Mas continuamos. Eu vou pular algum tédio.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Isso é bem simétrico, como seria de se esperar para uma fórmula de área. Vamos torná-lo menos simétrico. Lembre-se

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Adicionando, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Essa é uma fórmula para a área quadrada de um triângulo, dada a extensão quadrada dos lados. Quando estes últimos são racionais, o mesmo acontece com o primeiro.

Vamos tentar. Somos livres para atribuir os lados como quisermos; para cálculo de mão o seu melhor para fazer # c # o lado maior, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Mesmo antes de calculá-lo mais, podemos ver que temos um positivo # 16Q ^ 2 # Então, um triângulo real com uma área positiva, círculos sobrepostos.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Se tivéssemos obtido um valor negativo, uma área imaginária, isso não é um triângulo real, então círculos não sobrepostos.