O círculo A tem um centro em (6,5) e uma área de 6 pi. O círculo B tem um centro em (12, 7) e uma área de 48 pi. Os círculos se sobrepõem?

Responda:

Desde a

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # e

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

podemos fazer um triângulo real com lados quadrados 48, 6 e 40, de modo que esses círculos se cruzam.

Explicação:

Por que a gratuidade # pi #?

A área é #A = pi r ^ 2 # assim # r ^ 2 = A / pi. # Então o primeiro círculo tem um raio # r_1 = sqrt {6} # e o segundo # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Os centros são #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # apart.

Então os círculos se sobrepõem se #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Isso é tão feio que você seria perdoado por pegar a calculadora. Mas não é realmente necessário. Vamos fazer um desvio e ver como isso é feito usando o Trigonometria Racional. Lá estamos apenas preocupados com os comprimentos ao quadrado, chamados quadrantes.

Vamos dizer que queremos testar se três quadraças #ABC# são as quadraças entre três pontos colineares, ou seja #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # ou #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # ou #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Nós vamos escrever como

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Quadriculado, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Quadrando de novo, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Acontece que

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

é um discriminante para triângulos. Acabamos de mostrar se #mathcal {A} = 0 # isso significa que temos um triângulo degenerado, formado a partir de três pontos colineares. E se #mathcal {A}> 0 # então nós temos um triângulo real, cada lado menos que a soma dos outros dois. E se #mathcal {A} <0 # não temos lados que satisfaçam a desigualdade triangular, e às vezes chamamos isso de triângulo imaginário.

Vamos voltar para a nossa questão armada com o nosso novo discriminante triângulo #mathcal {A} #. Se os círculos se cruzarem, podemos fazer um triângulo dos dois centros e uma intersecção, para que os lados tenham comprimentos # r_1 #, # r_2 #e a distância entre os centros #(6,5)# e #(12,7)#. Nós temos

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # então temos um triângulo real, ou seja, círculos sobrepostos.

Ah sim, para qualquer triângulo #mathcal {A} = 16 (texto {área}) ^ 2. #

Verificar: Alpha

O círculo A tem um centro em (12, 9) e uma área de 25 pi. O círculo B tem um centro em (3, 1) e uma área de 64 pi. Os círculos se sobrepõem?

Sim Primeiro devemos encontrar a distância entre os centros dos dois círculos. Isso ocorre porque essa distância é onde os círculos estarão mais próximos, por isso, se eles se sobrepuserem, será ao longo desta linha. Para encontrar esta distância, podemos usar a fórmula da distância: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Agora devemos encontrar o raio de cada círculo. Sabemos que a área de um círculo é pir ^ 2, então podemos usar isso para resolver r. pi (r_1) ^ 2 = 25

O círculo A tem um centro em (3, 5) e uma área de 78 pi. O círculo B tem um centro em (1, 2) e uma área de 54 pi. Os círculos se sobrepõem?

Sim Primeiro, precisamos da distância entre os dois centros, que é D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 Agora precisamos da soma dos raios, uma vez que: D> (r_1 + r_2); "Os círculos não se sobrepõem" D = (r_1 + r_2); "Círculos apenas tocam" D <(r_1 + r_2); "Círculos se sobrepõem" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16.2 16.2> 3.61, ent&#

O círculo A tem um centro em (1, 5) e uma área de 24 pi. O círculo B tem um centro em (8, 4) e uma área de 66 pi. Os círculos se sobrepõem?

Sim, os círculos se sobrepõem. A distância do centro do círculo A ao centro do círculo B = 5sqrt2 = 7.071 A soma de seus raios é = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Deus abençoe .... Espero que a explicação seja útil.