Quais são os pontos extremos e de sela de f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Responda:

Há um extremo em #(3,3,27)#

Nós temos:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

E assim derivamos as derivadas parciais:

# (parcial f) / (parcial x) = y - 27 / x ^ 2 # e # (parcial f) / (parcial y) = x - 27 / y ^ 2 #

Em um extremo ou pontos de sela, temos:

# (parcial f) / (parcial x) = 0 # e # (parcial f) / (parcial y) = 0 # simultaneamente:

ou seja, uma solução simultânea de:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Subtraindo essas equações dá:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Nós podemos eliminar # x = 0; y = 0 # e entao # x = y # é a única solução válida, o que leva a:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

E com # x = y = 3 #, temos:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Portanto, há apenas um ponto crítico que ocorre em (3,3,27), que pode ser visto neste gráfico (que inclui o plano tangente)