Qual é a derivada de y = (sinx) ^ x?

Responda:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Explicação:

Use diferenciação logarítmica.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Use propriedades de # ln #)

Diferencie implicitamente: (Use a regra do produto e a cadeia ruel)

# 1 / y dy / dx = lnn (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Então nós temos:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Resolva para # dy / dx # multiplicando por #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Responda:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Explicação:

A maneira mais fácil de ver isso é usando:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)) #

Tomando a derivada disto dá:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# = (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / senx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Agora devemos notar que se # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # é indefinido.

No entanto, quando analisamos o comportamento da função em torno do # x #Para o qual isso é válido, descobrimos que a função se comporta bem o suficiente para que isso funcione, porque, se:

# (sinx) ^ x # abordagens 0

então:

#ln ((sinx) ^ x) # vai se aproximar #ooo

assim:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # abordará 0 também

Além disso, notamos que se #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # será um número complexo; no entanto, toda a álgebra e o cálculo que usamos também funcionam no plano complexo, portanto, isso não é um problema.

Responda:

Geralmente mais…

Explicação:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #

Qual é a primeira derivada e segunda derivada de 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(a primeira derivada)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(a segunda derivada)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (d) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(a primeira derivada)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(a segunda derivada)"

Qual é a segunda derivada de x / (x-1) e a primeira derivada de 2 / x?

Questão 1 Se f (x) = (g (x)) / (h (x)) então pela Regra do Quociente f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) Então se f (x) = x / (x-1) então a primeira derivada f' (x) = ((1) (x-1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2) e a segunda derivada é f '' (x) = 2x ^ -3 Pergunta 2 Se f (x) = 2 / x isso pode ser reescrito como f (x) = 2x ^ -1 e usando procedimentos padrão para obter a derivada f '(x) = -2x ^ -2 ou, se você preferir f' (x) = - 2 / x ^ 2

Qual é a primeira derivada e segunda derivada de x ^ 4 - 1?

F ^ '(x) = 4x ^ 3 f ^' '(x) = 12x ^ 2 para encontrar a primeira derivada devemos simplesmente usar três regras: 1. Regra de poder d / dx x ^ n = nx ^ (n-1 ) 2. Regra constante d / dx (c) = 0 (onde c é um inteiro e não uma variável) 3. Regra de soma e diferença d / dx [f (x) + - g (x)] = [f ^ ' (x) + - g ^ '(x)] a primeira derivada resulta em: 4x ^ 3-0 que simplifica para 4x ^ 3 para encontrar a segunda derivada, devemos derivar a primeira derivada aplicando novamente a regra de potência que resulta em : 12x ^ 3 você pode continuar se quiser: terceira derivada = 36x ^ 2