Sabe-se que a equação bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 tem uma raiz real. Prove que a equação x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 não tem raízes reais.

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

As raízes para # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # está

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

As raízes serão coincidentes e reais se

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

# a = b # ou #a = 5b #

Agora resolvendo

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # temos

#x = 1/2 (-a + bpm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

A condição para raízes complexas é

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

agora fazendo #a = b # ou #a = 5b # temos

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Concluindo, se # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # tem raízes reais coincidentes então # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # terá raízes complexas.

Nos é dado que a equação:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

tem uma raiz real, portanto o discriminante desta equação é zero:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #ou # a = 5b #

Procuramos mostrar a equação:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

não tem raízes reais. Isso exigiria um discriminante negativo. O discriminante para esta equação é:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

E agora vamos considerar os dois casos possíveis que satisfazem a primeira equação:

Caso 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Caso 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Assim, as condições da primeira equação são tais que a segunda equação sempre tem um discriminante negativo e, portanto, tem raízes complexas (ou seja, sem raízes reais), QED