Como resolver 3sin2x + 2cos2x = 3? É possível convertê-lo para sinx = k?

Responda:

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # ou #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

ou se você preferir uma aproximação, # x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # ou #x aprox 11.31 ^ circ + 180 ^ circ k #

é claro para o inteiro #k #.

Explicação:

Sugestão: é melhor transformar isso na forma #cos x = cos a # que tem soluções #x = pm a + 360 ^ circ k quad # para inteiro #k #.

Este já é sobre # 2x # então é mais fácil deixar assim.

Combinações lineares de seno e cosseno do mesmo ângulo são cossenos deslocados de fase.

# 3 pecado (2x) + 2 cos (2x) = 3 #

# sqrt {13} (2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x)) = 3 #

# 2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sen (2x) = 3 / sqrt {13} #

Vamos deixar # theta = arctan (3/2) aprox 56.31 ^ circ #

Nós realmente queremos dizer aquele no primeiro quadrante.

(Se quiséssemos fazer seno em vez de cosseno como estamos fazendo, usaríamos #arctan (2/3) #.)

Nós temos #cos theta = 2 / sqrt {13} # e #sin theta = 3 / sqrt {13}. #

# cos theta cos (2x) + sin teta pecado (2x) = sin teta #

# cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ - teta) #

# 2x - teta = pm (90 ^ circ - teta) + 360 ^ circ k #

# 2x = teta pm (90 ^ circ - teta) + 360 ^ circ k #

# x = teta / 2 pm (45 ^ circ - theta / 2) + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # ou #x = teta - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # ou #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

Desde a #56.31-45 = 11.31#

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # ou #x aprox 11.31 ^ circ + 180 ^ circ k #