Como você multiplica (4 + 6i) (3 + 7i) na forma trigonométrica?

Primeiro de tudo, temos que converter esses dois números em formas trigonométricas.

E se # (a + ib) # é um número complexo, #você# é a sua magnitude e #alfa# é o seu ângulo então # (a + ib) # na forma trigonométrica é escrito como #u (cosalpha + isinalpha) #.

Magnitude de um número complexo # (a + ib) # É dado por#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # e seu ângulo é dado por # tan ^ -1 (b / a) #

Deixei # r # ser a magnitude de # (4 + 6i) # e # theta # seja o seu ângulo.

Magnitude de # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

Ângulo de # (4 + 6i) = Tan ^ -1 (6/4) = tan ^ -1 (3/2) = teta #

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

Deixei # s # ser a magnitude de # (3 + 7i) # e # phi # seja o seu ângulo.

Magnitude de # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Ângulo de # (3 + 7i) = Tan ^ -1 (7/3) = phi #

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Agora,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = r (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) #

# = rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi + costhetasinphi) #

# = rs (cos (teta + phi) + isina (teta + phi)) #

Aqui temos todas as coisas presentes, mas se aqui substituirmos diretamente os valores, a palavra seria confusa para encontrar #theta + phi # então vamos primeiro descobrir # theta + phi #.

# theta + phi = tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Nós sabemos isso:

# tan ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) #

#implies tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((3/2) + (7/3)) / (1- (3/2) (7/3))) = tan ^ -1 ((9 + 14) / (6-21)) #

# = tan ^ -1 ((23) / (- 15)) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies theta + phi = tan ^ -1 (-23/15) #

#rs (cos (teta + phi) + isin (teta + phi)) #

# = 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15)))

Esta é sua resposta final.

Você também pode fazer isso por outro método.

Em primeiro lugar, multiplicando os números complexos e, em seguida, alterando-os para a forma trigonométrica, o que é muito mais fácil do que isso.

# (4 + 6i) (3 + 7i) = 12 + 28i + 18i + 42i ^ 2 = 12 + 46i-42 = -30 + 46i #

Agora mude # -30 + 46i # na forma trigonométrica.

Magnitude de # -30 + 46i = sqrt ((- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (900 + 2116) = sqrt3016 = 2sqrt754 #

Ângulo de # -30 + 46i = tan ^ -1 (46 / -30) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies -30 + 46i = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #