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Ver abaixo.

Explicação:

Nós estaremos usando a chamada formulação de Euler Lagrange

# d / dt ((partialL) / (ponto parcial q_i)) - (parcial L) / (q_i parcial) = Q_i #

Onde #L = T-V #. Neste exercício nós temos # V = 0 # assim #L = T #

Chamando # x_a # o centro da coordenada do cilindro esquerdo e # x_b # o rigth, nós temos

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

Aqui # sinalpha = R / Lsintheta # então substituindo #alfa#

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sen ^ 2theta #

agora derivando

#dot x_b = ponto x_a + Rsin (teta) ponto teta - ((R ^ 2cos (theta) sin (teta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (teta))) ponto teta #

mas

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

Aqui # J # é o momento de inércia em relação ao centro de massa. Além disso,

# v_a = ponto x_a = R ponto teta #

#omega_a = ponto teta #

então, depois de substituições e chamadas #xi (theta) = 1- (Rcos (teta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (teta)) # temos

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (teta) xi (teta)) ^ 2) ponto teta ^ 2 #

Nós escolhemos # theta # como a coordenada generalizada. Então vamos reduzir # F # atuando na coordenada # x # para uma força equivalente em # theta #. Esta coordenada funciona de forma rotativa, então precisamos de um impulso generalizado em relação ao ponto de contato no chão, que é

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

As equações de movimento são obtidas após

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (teta) xi (teta)) (cos (teta) xi (teta) + sin (teta) xi '(teta)) ponto teta ^ 2 + (1+ (1 + sin (teta) xi (teta)) ^ 2) ddot teta) = FR (1 + sin (teta)) # agora resolvendo para #ddot theta #

# ddottheta = (FR (1 + sin (teta)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (teta) xi (teta)) (cos (teta) xi (teta) + sin (teta) xi '(teta)) pontotheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (teta) xi (teta)) ^ 2)) #

Anexou dois lotes. O primeiro mostra # theta # evolução e o segundo é para # dottheta #

Valor dos parâmetros:

# R = 0.5, J = 1, m = 1, L = 2 # A força aplicada é mostrada em vermelho.