Reescreva a equação em um sistema x'y 'rotacionado sem um termo x'y'. Posso obter ajuda? Obrigado!

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A segunda seleção:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Explicação:

A equação dada

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

está na forma cartesiana geral para uma seção cônica:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

Onde #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 e F = -144 #

A referência Rotation of Axes nos dá equações que nos permitem girar uma seção cônica para um ângulo especificado, # theta #. Além disso, nos dá uma equação que nos permite forçar o coeficiente do # xy # para se tornar 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Substituindo os valores da equação 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Simplificar:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Use a equação (9.4.4b) para verificar se a nova rotação causa o coeficiente do # xy # prazo para ser 0:

#B '= (A-C) sen (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # verificado.

Use a equação (9.4.4a) para calcular #UMA'#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2teta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Use a equação (9.4.4c) para calcular # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2teta) + B / 2 sin (2teta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Use a Equação (9.4.4f) para calcular # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Agora, podemos escrever a forma não rotacionada:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Divida os dois lados por 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Adicione 1 a ambos os lados:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

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Opção B

Explicação:

Podemos escrever a equação em forma de matriz e depois girá-la em seu eixo principal.

Deixei:

#bb x ^ T bb = = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implica a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

E assim, em forma de matriz:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad quadrado #

Para girar os eixos # bbx # por # theta #:

#bb x ^ '= R (teta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Transpondo #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, como R é ortogonal

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Colocando estes dois últimos resultados em #quadrado#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW se R é a matriz que diagonaliza M, então temos a equação em termos de seus eixos principais para a matriz de vetores autovetores diagonais D, ou seja:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M Os autovalores são 36 e 16, podendo ser diagonalizados como:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #