Se f (x) = x tan ^ -1, então f (1) é o que?

Responda:

# f (1) # Onde #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Explicação:

Eu vou assumir a questão é #f (1) # Onde #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Normalmente eu trataria o # arctan # como multivalorado. Mas aqui com a notação de função explícita #f (x) # Eu direi que queremos o valor principal da tangente inversa. O ângulo com a tangente 1 no primeiro quadrante é # 45 ^ circ # ou # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Esse é o fim. Mas vamos colocar a questão de lado, e focar no que #arctan t # realmente significa.

Eu costumo pensar em #tan ^ -1 (t) # ou equivalentemente (e penso melhor notação) #arctan (t) # como um expressão multivaluada. A "função" arctan não é realmente uma função, porque é o inverso de algo periódico, que não pode ter um inverso sobre todo o seu domínio.

Isso é realmente confuso para alunos e professores. De repente, temos coisas que parecem funções que não são realmente funções. Eles meio que escorregaram para baixo do radar. Novas regras são necessárias para lidar com elas, mas elas nunca são explicitamente declaradas. A matemática começa a ficar confusa quando não deveria.

# x = t de arctan é melhor pensado como as soluções para #tan x = t. # Há um número infinito contável deles, um por período. Tangente tem período de # pi # então as soluções são # pi # apart, que é onde o #pi k # vem de, inteiro #k #.

Eu costumo escrever o valor principal da tangente inversa como Arctan, com um A. maiúsculo. Infelizmente, Socratic continua "corrigindo". Eu vou fudge aqui:

#t = tan x # tem soluções

#x = arctan t = texto {Arc} texto {tan} (t) + pi k quad # para inteiro #k #.