A temperatura da superfície de Arcturus é cerca de metade da temperatura do Sol, mas Arcturus é cerca de 100 vezes mais luminosa que o Sol. Qual é o seu raio, comparado ao do Sol?

O raio de Arcturus é 40 vezes maior que o raio do sol.

Deixei,

# T = #Temperatura da superfície de Arcturus

# T_0 = #Temperatura da superfície do sol

# L = #Luminosidade de Arcturus

# L_0 = #Luminosidade do Sol

Nos é dado, # quadL = 100 L_0 #

Agora expresse a luminosidade em termos de temperatura.

A potência irradiada por unidade de superfície de uma estrela é # sigma T ^ 4 # (Lei de Stefan-Boltzmann).

Para obter a potência total irradiada pela estrela (sua luminosidade), multiplique a potência por unidade de superfície pela área da superfície da estrela.# = 4 pi R ^ 2 #, Onde # R # é o raio da estrela.

Luminosidade de uma estrela # = (sigmaT ^ 4) 4pi R ^ 2 #

Usando isso, # L = 100L_0 # pode ser escrito como

# (sigmaT ^ 4) 4piR ^ 2 = 100 * (sigmaT_0 ^ 4) 4piR_0 ^ 2 #

Onde # R_0 # Referencia o raio do sol.

Reorganizando a equação acima dá

# R / R_0 = 10 * (T_0 / T) ^ 2 #

Nos é dado que # T = T_0 / 2 #. substituindo na equação acima dá

# R / R_0 = 10 * (2) ^ 2 = 40 #

O raio de Arcturus é 40 vezes maior que o raio do sol.