Qual é o raio da convergência para esta série de poder? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Responda:

#abs z <1 #

Explicação:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k #

mas

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #. Agora considerando #abs z <1 # temos

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # e

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

agora fazendo a substituição #z -> - z # temos

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

por isso é convergente para #abs z <1 #