Qual é a integral de (ln (xe ^ x)) / x?

Responda:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + c #

Explicação:

Nos é dado:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Usando #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Usando #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Usando #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Dividindo a fração (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Separando as integrais somadas:

# = int # #ln (x) / xdx + int dx #

A segunda integral é simplesmente #x + c #, Onde # C # é uma constante arbitrária. A primeira integral, usamos #você#-substituição:

Deixei #u equiv ln (x) #, conseqüentemente #du = 1 / x dx #

Usando #você#-substituição:

# = int udu + x + c #

Integrando (a constante arbitrária # C # pode absorver a constante arbitrária da primeira integral indefinida:

# = u ^ 2/2 + x + c #

Substituindo de volta em termos de # x #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + c #

Responda:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + c #

Explicação:

Começamos usando a seguinte identidade de logaritmo:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Aplicando isso à integral, obtemos:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

Para avaliar a integral restante, usamos integração por partes:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

eu deixarei #f (x) = ln (x) # e #g '(x) = 1 / x #. Podemos então calcular isso:

#f '(x) = 1 / x # e #g (x) = ln (x) #

Podemos então aplicar a integração pela fórmula de peças para obter:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Como temos a integral em ambos os lados do sinal de igual, podemos resolvê-lo como uma equação:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + c #

Conectando de volta à expressão original, recebemos nossa resposta final:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + c #