Como você resolve a desigualdade polinomial e declara a resposta na notação de intervalo dada x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

Responda:

A desigualdade é quadrática em forma.

Explicação:

Etapa 1: Exigimos zero em um lado.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Etapa 2: Como o lado esquerdo consiste em um termo constante, um termo intermediário e um termo cujo expoente é exatamente o dobro do termo intermediário, essa equação é quadrática "em forma". Ou nós o consideramos como um quadrático, ou usamos a fórmula quadrática. Neste caso, somos capazes de fatorar.

Assim como # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) #agora temos

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2) #.

Nós tratamos # x ^ 3 # como se fosse uma variável simples, y.

Se for mais útil, você pode substituir #y = x ^ 3 #, então resolva y, e finalmente substitua de novo em x.

Etapa 3: Defina cada fator igual a zero separadamente e resolva a equação # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #. Nós achamos onde o lado esquerdo é igual a zero porque esses valores serão os limites da nossa desigualdade.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

#x = -root (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

#x = raiz (3) 2 #

Estas são as duas raízes reais da equação.

Eles separam a linha real em três intervalos:

# (- oo, -root (3) 3); (-root (3) 3, raiz (3) 2); e (raiz (3) 2, oo) #.

Etapa 4: Determine o sinal do lado esquerdo da desigualdade em cada um dos intervalos acima.

Usar pontos de teste é o método usual. Selecione um valor em cada intervalo e substitua por x no lado esquerdo da inequação. Podemos escolher -2, depois 0 e depois 2.

Você vai descobrir que o lado esquerdo é

positivo em # (- oo, -root (3) 3) #;

negativo em # (- raiz (3) 3, raiz (3) 2) #;

e positivo em # (raiz (3) 2, oo) #.

Passo 5: Complete o problema.

Estamos interessados em saber onde # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Sabemos agora onde o lado esquerdo é igual a 0 e sabemos onde é positivo. Escreva esta informação na forma de intervalo como:

# (- oo, -root (3) 3 uu raiz (3) 2, oo) #.

NOTA: Temos os colchetes porque os dois lados da desigualdade são iguais naqueles pontos, e o problema original requer para nós incluir esses valores. Teve o problema usado #># ao invés de # ge #, nós teríamos usado parênteses.