Qual é o valor do sqrt (6 + sqrt (20))?

Responda:

#sqrt (6 + sqrt (20)) = 1 + sqrt (5) #

Explicação:

Aqui está uma maneira de resolver isso.

Assuma isso #sqrt (6 + sqrt (20)) = a + sqrt (b) # Onde #uma# e # b # são inteiros não negativos.

Então, emparelhando os dois lados, # 6 + sqrt (20) = a ^ 2 + 2asqrt (b) + b #. Equacionando coeficientes pela racionalidade dos termos, encontramos

# {(a ^ 2 + b = 6), (2asqrt (b) = sqrt (20) = 2sqrt (5)):} #

A partir da segunda equação, temos # a ^ 2b = 5 #. Multiplique ambos os lados da primeira equação por # b # para obter # a ^ 2b + b ^ 2 = 6b #ou # b ^ 2-6b + 5 = (b-5) (b-1) = 0 #.

As soluções desta equação quadrática são # b = 1 # ou #5#, mas quando # b = 1 #, # a = sqrt (5) #.

Assim, a única solução para inteiros #uma# e # b # é # a = 1, b = 5 #.

Então nós temos #sqrt (6 + sqrt (20)) = 1 + sqrt (5) #.