Qual é o inverso de y = 3log_2 (4x) -2?

Responda:

#f ^ (- 1) (x) = 4 ^ (- 2/3) * 2 ^ (x / 3) #

Explicação:

Primeiro, mude # y # e # x # na sua equação:

#x = 3 log_2 (4y) - 2 #

Agora, resolva esta equação para # y #:

#x = 3 log_2 (4y) - 2 #

# <=> x + 2 = 3 log_2 (4y) #

# <=> (x + 2) / 3 = log_2 (4y) #

A função inversa de # log_2 (a) # é # 2 ^ a #, então aplique esta operação para ambos os lados da equação para se livrar do logaritmo:

# <=> 2 ^ ((x + 2) / 3) = 2 ^ (log_2 (4y)) #

# <=> 2 ^ ((x + 2) / 3) = 4y #

Vamos simplificar a expressão no lado esquerdo usando as regras de potência # a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m) # e # a ^ (n * m) = (a ^ n) ^ m #:

# 2 ^ ((x + 2) / 3) = 2 ^ (x / 3 + 2/3) = 2 ^ (x / 3) * 2 ^ (2/3) = 2 ^ (x / 3) * (2 ^ 2) ^ (1/3) = 4 ^ (1/3) * 2 ^ (x / 3) #

Vamos voltar para a nossa equação:

# 2 ^ ((x + 2) / 3) = 4y #

# <=> 4 ^ (1/3) * 2 ^ (x / 3) = 4a #

# <=> 4 ^ (1/3) / 4 * 2 ^ (x / 3) = y #

# <=> 4 ^ (- 2/3) * 2 ^ (x / 3) = y #

Você terminou. A única coisa que resta a fazer é substituir # y # com #f ^ (- 1) (x) # para uma notação mais formal:

para

#f (x) = 3 log_2 (4x) - 2 #,

a função inversa é

#f ^ (- 1) (x) = 4 ^ (- 2/3) * 2 ^ (x / 3) #.

Espero que isso tenha ajudado!