Obter um polinômio quadrático com as seguintes condições ?? 1. a soma dos zeros = 1/3, o produto dos zeros = 1/2

Responda:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Explicação:

A fórmula quadrática é #x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Soma de duas raízes:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - b / a #

#b / a = 1/3 #

# b = -a / 3 #

Produto de duas raízes:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (-b-sqrt (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4ac) / (4a ^ 2) = c / a #

# c / a = 1/2 #

# c = a / 2 #

Nós temos # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Prova:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# x = (2-sqrt ((- 2) ^ 2-4 (6 * 3))) / (2 * 6) = (2 + -sqrt (4-72)) / 12 = (2 + -2sqrt (17) i) / 12 = (1 + -sqrt (17) i) / 6 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 + (1-sqrt (17) i) / 6 = 2/6 = 1/3 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 * (1-sqrt (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1/2 #

Responda:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #

Explicação:

Se tivermos uma equação quadrática geral:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 iff x ^ 2 + b / ax + c / a = 0 #

E nós denotamos a raiz da equação por #alfa# e #beta#Então, nós também temos:

# (x-alfa) (x-beta) = 0 sf x ^ 2 - (alfa + beta) x + alfa beta = 0 #

O que nos dá as propriedades bem estudadas:

# {: ("soma das raízes", = alfa + beta, = -b / a), ("produto das raízes", = alfa beta, = c / a):} #

Assim nós temos:

# {: (alfa + beta, = -b / a, = 1/3), (alfa beta, = c / a, = 1/2):} #

Então a equação procurada é:

# x ^ 2 - "(soma das raízes)" x + "(produto das raízes)" = 0 #

ou seja:

# x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0 #

E (opcionalmente), para remover os coeficientes fracionários, multiplicamos por #6# dando:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #