Intervalo de log_0,5 (3x-x ^ 2-2)?

Responda:

# 2 <= y <oo #

Explicação:

Dado # log_0.5 (3x-x ^ 2-2) #

Para entender o alcance, precisamos encontrar o domínio.

A restrição no domínio é que o argumento de um logaritmo deve ser maior que 0; isso nos obriga a encontrar os zeros da quadrática:

#x + 2 + 3x-2 = 0 #

# x ^ 2- 3x + 2 = 0 #

# (x -1) (x-2) = 0 #

Isso significa que o domínio é # 1 <x <2 #

Para o intervalo, definimos a expressão dada igual a y:

#y = log_0.5 (3x-x ^ 2-2) #

Converta a base no logaritmo natural:

#y = ln (-x ^ 2 + 3x-2) / ln (0,5) #

Para encontrar o mínimo, calcule a primeira derivada:

# dy / dx = (-2x + 3) / (ln (0,5) (- x ^ 2 + 3x-2)) #

Defina a primeira derivada igual a 0 e resolva para x:

# 0 = (-2x + 3) / (ln (0,5) (- x ^ 2 + 3x-2)) #

# 0 = -2x + 3 #

# 2x = 3 #

#x = 3/2 #

O mínimo ocorre em #x = 3/2 #

#y = ln (- (3/2) ^ 2 + 3 (3/2) -2) / ln (0,5) #

#y = ln (1/4) / ln (0,5) #

#y = 2 #

O mínimo é 2.

Porque #ln (0,5) # é um número negativo, a função se aproxima # + oo # como x se aproxima de 1 ou 2, portanto, o intervalo é:

# 2 <= y <oo #