Sara usou 34 metros de cercas para cercar uma região retangular. Para ter certeza de que a região era um retângulo, ela mediu as diagonais e descobriu que elas tinham 13 metros cada. Quais são o comprimento e a largura do retângulo?

Responda:

Comprimento (L) #= 4# metros

Largura (W) #= 13# metros

Explicação:

Dado:

Sara usou #34# metros de cercar para cercar uma região retangular.

Conseqüentemente, Perímetro de um retângulo como mostrado abaixo é #34# metros

Conseqüentemente 2x (comprimento + largura) = 34 metros

Vamos supor que Comprimento = L metros e Largura = metros W

Assim, # 2 * (L + W) = 34 # metros

O que está abaixo é um esboço áspero e NÃO desenhado à escala

Conseqüentemente,

AB = CD = L metros

AC = BD = W metros

Nos é dado que As diagonais têm 13 metros de comprimento

Nós sabemos isso, a diagonais de um retângulo está comprimento igual;

diagonais de um retângulo também cortam um ao outro

O que está abaixo é um esboço áspero e NÃO desenhado à escala

Ângulo # / _ ACD # é ângulo reto

Usando o Teorema de Pitágoras, podemos escrever

# AC ^ 2 + CD ^ 2 = AD ^ 2 #

#rArr W ^ 2 + L ^ 2 = 13 ^ 2 #

#rArr W ^ 2 + L ^ 2 = 169 #

Adicionar # -W ^ 2 # em ambos os lados para obter

#rArr W ^ 2 + L ^ 2 - W ^ 2 = 169 - W ^ 2 #

#rArr cancel (W ^ 2) + L ^ 2 - cancelar (W ^ 2) = 169 - W ^ 2 #

#rArr L ^ 2 = 169 - W ^ 2 #

Tomando raiz quadrada em ambos os lados

#rArr sqrt (L ^ 2) = sqrt (169 - W ^ 2) #

#rArr L = + - sqrt (13 ^ 2 -W ^ 2) #

Consideramos apenas valores positivos

#rArr L = sqrt (13 ^ 2) -sqrt (W ^ 2) #

#rArr L = 13 -W #

Substituto #color (vermelho) (L = {13-W}) # em #color (azul) ({W ^ 2 + L ^ 2} = 169) #

#rArr W ^ 2 + (13-W) ^ 2 = 169 #

Usando a identidade #color (verde) ((a-b) ^ 2 - = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2) # Nós temos

#rArr W ^ 2 + 169 - 26W + W ^ 2 = 169 #

#rArr W ^ 2 + cancelar 169 - 26W + W ^ 2 = cancelar 169 #

#rArr 2W ^ 2 - 26W = 0 #

#rArr 2W (W -1 3) = 0 #

#rArr W-13 = 0 #

Conseqüentemente, #W = 13 #

Conseqüentemente, largura do retângulo #13# metros

Nós já temos

# 2 * (L + W) = 34 # metros

Substitua o valor de #W = 13 # para obter

# 2 * (L + 13) = 34 #

#rArr 2L + 26 = 34 #

Adicionar #-26# para ambos os lados

#rArr 2L + cancelar 26 - cancelar 26 = 34 - 26 #

#rArr 2L = 34 - 26 = 8 #

#rArr 2L = 8 #

#L = 8/2 = 4 #

Comprimento do retângulo = 4 metros

Substitua os valores de #L = 4 e W = 13 # em

# 2 * (L + W) = 34 # metros

para verificar nossos resultados

Nós temos

#2*(4 + 13) = 34# metros

#rArr 34 = 34 #

Portanto, nosso retângulo tem

Comprimento (L) #= 4# metros

Largura (W) #= 13# metros