Pode-se argumentar que essa questão pode na geometria, mas essa propriedade do Arbelo é elementar e uma boa base para provas intuitivas e observacionais, então mostre que o comprimento do limite inferior dos arbelos é igual ao limite superior do comprimento?

Chamando #hat (AB) # o comprimento da semicircunferência com raio # r #, #hat (AC) # o comprimento da semicircunferência do raio # r_1 # e #hat (CB) # o comprimento da semicircunferência com raio # r_2 #

Nós sabemos isso

#hat (AB) = lambda r #, #hat (AC) = lambda r_1 # e #hat (CB) = lambda r_2 # então

#hat (AB) / r = chapéu (AC) / r_1 = chapéu (CB) / r_2 # mas

#hat (AB) / r = (chapéu (CA) + chapéu (CB)) / (r_1 + r_2) = (chapéu (CA) + chapéu (CB)) / r #

porque se

# n_1 / n_2 = m_1 / m_2 = lambda # então

#lambda = (n_1pmm_1) / (n_2pmm_2) = (lambda n_2pm lambda m_2) / (n_2pmm_2) = lambda #

assim

#hat (AB) = chapéu (CA) + chapéu (CB) #