Como calcular isso? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Exemplo

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Infelizmente, a função dentro da integral não se integrará a algo que não pode ser expresso em termos de funções elementares. Você terá que usar métodos numéricos para fazer isso.

Eu posso te mostrar como usar uma expansão de série para obter uma valor aproximado.

Comece com a série geométrica:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # para # rlt1 #

Agora integre com respeito a # r # e usando os limites #0# e # x # para conseguir esta:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integrando o lado esquerdo:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Agora integre o lado direito integrando o termo por termo:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Então, segue que:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Agora divida por # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Portanto, agora temos a expressão da série de energia para a função com a qual começamos originalmente. Finalmente, podemos integrar novamente para obter:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Integrar o termo do lado direito pelo lado do prazo nos dá:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Avaliar os limites para quatro termos nos dará um valor aproximado:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Agora, isso é apenas para quatro termos. Se você quiser um número mais preciso, basta usar mais termos na série. Por exemplo, indo para o 100º termo:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Como um aparte, se você trabalhar exatamente no mesmo processo, mas usar a notação de soma (ou seja, com grande sigma em vez de escrever os termos da série), você descobrirá que:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

que é apenas a função Riemann-Zeta de 2, ou seja:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Na verdade, já sabemos que o valor disso é: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Assim, o valor exato da integral pode ser deduzido:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #