Prove que o conjunto de energia é um campo?

Responda:

O conjunto de potência de um conjunto é um anel comutativo sob as operações naturais de união e interseção, mas não um campo sob essas operações, uma vez que não possui elementos inversos.

Explicação:

Dado qualquer conjunto # S #, considere o conjunto de energia # 2 ^ S # do # S #.

Isso tem operações naturais de união # uu # que se comporta como adição, com uma identidade # O / # e interseção # nn # que se comporta como multiplicação com uma identidade # S #.

Em mais detalhes:

• # 2 ^ S # está fechado sob # uu #

  E se #A, B em 2 ^ S # então #Au B em 2 ^ S #

• Existe uma identidade # O / in 2 ^ S # para # uu #

  E se #A em 2 ^ S # então #Au O / = O / uu A = A #

• # uu # é associativo

  E se #A, B, C em 2 ^ S # então #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # uu # é comutativo

  E se #A, B em 2 ^ S # então #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # está fechado sob # nn #

  E se #A, B em 2 ^ S # então #A nn B em 2 ^ S #

• Existe uma identidade #S em 2 ^ S # para # nn #

  E se #A em 2 ^ S # então #A nn S = S nn A = A #

• # nn # é associativo

  E se #A, B, C em 2 ^ S # então #A nn (Bn C) = (A nn B) nn C #

• # nn # é comutativo

  E se #A, B em 2 ^ S # então #A nn B = B nn A #

• # nn # é esquerda e direita distributiva ao longo # uu #

  E se #A, B em 2 ^ S # então #A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  e # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

assim # 2 ^ S # satisfaz todos os axiomas necessários para ser um anel comutativo com adição # uu # e multiplicação # nn #.

E se #S = O / # então # 2 ^ S # tem um elemento, a saber # O / #, por isso não consegue ter identidades aditivas e multiplicativas distintas e, portanto, não é um campo.

Caso contrário, note que # S # não tem inverso sob # uu # e # O / # não tem inverso sob # nn #. assim # 2 ^ S # não forma um campo devido à falta de elementos inversos.