A equação x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 = 0 tem uma raiz positiva. Verifique por cálculo que esta raiz está entre 1 e 2.Alguém pode por favor resolver esta questão?

UMA raiz de uma equação é um valor para a variável (neste caso # x #) que faz a equação verdadeira. Em outras palavras, se tivéssemos que resolver # x #, então o valor resolvido (s) seria as raízes.

Normalmente, quando falamos de raízes, é com uma função de # x #, gostar # y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #, e encontrar as raízes significa resolver para # x # quando # y # é 0.

Se esta função tem uma raiz entre 1 e 2, então em alguns # x #-valor entre # x = 1 # e # x = 2 #, a equação será igual a 0. O que também significa que, em algum ponto de um lado dessa raiz, a equação é positiva e, em algum ponto do outro lado, é negativa.

Já que estamos tentando mostrar que há uma raiz entre 1 e 2, se pudermos mostrar que as chaves de equação assinam entre esses dois valores, estaremos prontos.

O que é # y # quando # x = 1 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#color (branco) y = (1) ^ 5-3 (1) ^ 3 + (1) ^ 2-4 #

#color (branco) y = 1-3 + 1-4 #

#color (branco) y = –5 #

#color (branco) y <0 #

Agora, o que é # y # quando # x = 2 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#color (branco) y = (2) ^ 5-3 (2) ^ 3 + (2) ^ 2-4 #

#color (branco) y = 32-3 (8) + 4-4 #

#color (branco) y = 32 a 24 #

#color (branco) y = 8 #

#color (branco) y> 0 #

Nós mostramos que # y # é negativo quando # x = 1 #e # y # é positivo quando # x = 2 #. Então, em algum ponto entre 1 e 2, devo um valor para # x # que faz # y # igual a 0.

Acabamos de usar o Teorema do Valor Intermediário ou (IVT). Se você não tem certeza do que é, uma descrição rápida é que, se uma função contínua for menor que # c # quando # x = a # e é maior que # c # quando # x = b #, então em algum ponto entre #uma# e # b #, a função deve ser igual # c #

Nota:

O IVT é aplicável somente em funções contínuas (ou funções que são contínuas no intervalo de interesse). Felizmente, todos os polinômios # x # são contínuos em todos os lugares, é por isso que podemos usar o IVT aqui.