Qual é o domínio e alcance de (2/3) ^ x - 9?

Responda:

Domínio: # (- oo, oo) #

Alcance: # (- 9, oo) #

Explicação:

Primeiro note que # (2/3) ^ x-9 # está bem definido para qualquer valor real de # x #. Então o domínio é o todo # RR #, isto é # (- oo, oo) #

Desde a #0 < 2/3 < 1#, a função # (2/3) ^ x # é uma função exponencialmente decrescente que leva grandes valores positivos quando # x # é grande e negativo, e é assintótico para #0# para grandes valores positivos de # x #.

Na notação limite, podemos escrever:

#lim_ (x -> - oo) (2/3) ^ x = -oo #

#lim_ (x-> oo) (2/3) ^ x = 0 #

# (2/3) ^ x # é contínuo e estritamente monótonamente diminuindo, então seu alcance é # (0, oo) #.

Subtrair #9# para descobrir que a gama de # (2/3) ^ x # é # (- 9, oo) #.

Deixei:

#y = (2/3) ^ x-9 #

Então:

# y + 9 = (2/3) ^ x #

E se #y> -9 # então podemos pegar logs de ambos os lados para encontrar:

#log (y + 9) = log ((2/3) ^ x) = x log (2/3) #

e, portanto:

#x = log (y + 9) / log (2/3) #

Então, para qualquer #y em (-9, oo) # podemos encontrar um correspondente # x # de tal modo que:

# (2/3) ^ x-9 = y #

Isso confirma que o alcance é o todo # (- 9, oo) #.