Responda:
# r + r sin theta = 1 #
torna-se
# x ^ 2 + 2y = 1 #
Explicação:
Nós sabemos
# r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 #
#x = r cos theta #
#y = r sin theta #
assim
# r + r sin theta = 1 #
torna-se
# sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} + y = 1 #
# sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = 1-y #
# x ^ 2 + y ^ 2 = 1 - 2y + y ^ 2 #
# x ^ 2 + 2y = 1 #
O único passo duvidoso é o quadrado da raiz quadrada. Normalmente, para equações polares, permitimos # r #e, em caso afirmativo, a quadratura não introduz uma nova parte.
Responda:
Procedimento em explicação.
Explicação:
Para converter de polar para retangular, podemos usar as seguintes substituições: # x = rcosθ #
# y = rsinθ #
# r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# tanθ = y / x #
Usando 1 e 3, #sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) + y = 1 #
Esquadre a equação. Usando a expansão de # (a + b) ^ 2 #
# x ^ 2 + y ^ 2 + y ^ 2 + 2sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) = 1 #
#implies x ^ 2 + 2y ^ 2 + 2ysqrt (x ^ 2 + y ^ 2) = 1 #
#implies x ^ 2 + 2y (y + sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)) = 1 #
Observe que o coeficiente de 2y é 1. (Veja a primeira equação que escrevi usando 1 e 3)
assim # x ^ 2 + 2y = 1 #
Espero que isto ajude!
Responda:
# x ^ 2 - 2y = 1 #
Explicação:
#r + rsintheta = 1 #
Precisamos converter de polar para retangular.
Nós sabemos isso:
#x = rcostheta #
#y = rsintheta #
e
#r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) # ou # r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 #
#------------------#
Podemos substituir nesses valores por #color (vermelho) r # e #color (vermelho) (rsintheta) #:
#color (vermelho) (sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) + y) = 1 #
Subtrair #color (vermelho) y # de ambos os lados da equação:
#sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) + y quadricolor (vermelho) (- quady) = 1 quadcolor (vermelho) (- quady) #
#sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) = 1-y #
Quadrado ambos os lados da equação:
# (sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)) ^ cor (vermelho) (2) = (1-y) ^ cor (vermelho) (2) #
# x ^ 2 + y ^ 2 = 1 - 2y + y ^ 2 #
Subtrair #color (vermelho) (y ^ 2) # de ambos os lados da equação, eles cancelam:
# x ^ 2 + cancelar (y ^ 2 quadcolor (vermelho) (- quady ^ 2)) = 1 - 2y + cancelar (y ^ 2 quadcolor (vermelho) (- quady ^ 2)) #
# x ^ 2 = 1 - 2y #
Adicionar #color (vermelho) (2y) # para ambos os lados da equação para obter a resposta final de forma retangular:
# x ^ 2 - 2y = 1 #
Espero que isto ajude!
