Quais são os extremos absolutos de f (x) = x / e ^ (x ^ 2) em [1, oo]?

Responda:

# (1, 1 / e) # é um máximo absoluto no domínio determinado

Não há mínimo

Explicação:

O derivado é dado por

#f '(x) = (1 (e ^ (x ^ 2)) - x (2x) e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 #

#f '(x) = (e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2)) / (e ^ (x ^ 2)) ^ 2 #

Valores críticos ocorrerão quando a derivada for igual a #0# ou é indefinido. A derivada nunca será indefinida (porque # e ^ (x ^ 2) # e # x # são funções contínuas e # e ^ (x ^ 2)! = 0 # para qualquer valor de # x #.

Então se #f '(x) = 0 #:

# 0 = e ^ (x ^ 2) - 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# 0 = e ^ (x ^ 2) (1 - 2x ^ 2) #

Como acima mencionado # e ^ (x ^ 2) # nunca será igual #0#, então nossos dois únicos números críticos ocorrerão na solução de

# 0 = 1 -2x ^ 2 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# x ^ 2 = 1/2 #

#x = + - sqrt (1/2) = + - 1 / sqrt (2) #

Mas nenhum destes se encontra em nosso domínio dado. Assim sendo, #x = 1 # vai ser um máximo (porque #f (x) # converge para #0# Como #x -> + oo #.

Não haverá um mínimo

Espero que isso ajude!