Dois cantos de um triângulo isósceles estão em (1, 3) e (9, 4). Se a área do triângulo é 64, quais são os comprimentos dos lados do triângulo?

Responda:

Os comprimentos dos lados do triângulo são:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Explicação:

A distância entre dois pontos # (x_1, y_1) # e # (x_2, y_2) # é dado pela fórmula da distância:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Então a distância entre # (x_1, y_1) = (1, 3) # e # (x_2, y_2) = (9, 4) # é:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

que é um número irracional um pouco maior que #8#.

Se um dos outros lados do triângulo tivesse o mesmo comprimento, a área máxima possível do triângulo seria:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Então, isso não pode ser o caso. Em vez disso, os outros dois lados devem ter o mesmo comprimento.

Dado um triângulo com lados # a = sqrt (65), b = t, c = t #, podemos usar a fórmula de Heron para encontrar sua área.

Fórmula garças nos diz que a área de um triângulo com os lados #a, b, c # e semi perímetro #s = 1/2 (a + b + c) # É dado por:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

No nosso caso, o semi-perímetro é:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

e a fórmula de Heron nos diz que:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (branco) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Multiplique as duas extremidades por #2# para obter:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Quadrado ambos os lados para obter:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Multiplique ambos os lados por #4/65# para obter:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transpor e adicionar #65/4# para ambos os lados para obter:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Pegue a raiz quadrada positiva de ambos os lados para obter:

#t = sqrt (266369/260) #

Então, os comprimentos dos lados do triângulo são:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Método alternativo

Em vez de usar a fórmula de Heron, podemos raciocinar da seguinte forma:

Dado que a base do triângulo isósceles é de comprimento:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

A área é # 64 = 1/2 "base" xx "altura" #

Então a altura do triângulo é:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Esse é o comprimento da bissetriz perpendicular do triângulo, que passa pelo ponto médio da base.

Então os outros dois lados formam as hipotenusas de dois triângulos em ângulo reto com pernas #sqrt (65) / 2 # e # (128sqrt (65)) / 65 #

Então, por Pitágoras, cada um desses lados é de comprimento:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #