Encontrando (i) tanAtanB, (ii) tan (A + B), (iii) sin ((A + B) / 2) usando Fórmulas de Adição?

Responda:

Aqueles estão certos, exceto (ii) está invertido. #tan (A + B) # deveria estar #4/3# Como #sin (A + B) = 4/5 # e #cos (A + B) = 3/5 #.

Explicação:

Diversão. Dado #cos (A + B) = 3/5 quad e quad cos A cos B = 7/10 #

Vamos rever as identidades relevantes.

# cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B #

#sin A sin B = cos A cos B -cos (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 quad # escolha (i)

# cos ^ 2 (A + B) + sin ^ 2 (A + B) = 1 #

#sin (A + B) = pm sqrt {1- (3/5) ^ 2} = pm 4/5 #

#UMA# e # B # são agudos # A + B <180 ^ circ # então um seno positivo:

#sin (A + B) = 4/5 #

#tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = {4/5} / {3/5} = 4/3 quad # NENHUMA DAS ACIMA

Uma fórmula de duplo ângulo é #cos (2x) = 1-2 sin ^ 2 x # assim

#sin ((A + B) / 2) = pm sqrt {1/2 (1 - cos (A + B)) #

A média de #UMA# e # B # é agudo, então escolhemos o sinal positivo.

#sin ((A + B) / 2) = + sqrt {1/2} (1 - 3/5)) = 1 / sqrt {5} quad # escolha (iii)

Um dos três errado, B-.

Responda:

Por favor, consulte o Seção de Explicação.

Explicação:

Dado que #cos (A + B) = 3/5 #.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5 #.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (sinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

Conseqüentemente, # tanAtanB = 1/7 ………….. "Ans." (i) #.

Dado que, # 0 lt A lt pi / 2, 0 lt B lt pi / 2 #.

Adicionando, # 0 lt (A + B) lt pi #.

#:. (A + B) em Q_1uuQ_2 #.

Mas, #cos (A + B) = 3/5 gt 0 #.

#:. (A + B) em Q_1 #.

Agora, # sen ^ 2 (A + B) = 1-cos ^ 2 (A + B) = 1- (3/5) ^ 2 = 16/25 #.

#:. sin (A + B) = + - 4/5; "mas, porque," (A + B) em Q_1, #

# sin (A + B) = + 4/5 #.

#:. tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Resp." (ii) #.

Finalmente, para encontrar #sin ((A + B) / 2), "let" (A + B) /2=theta.#

#:. cos (A + B) = cos2theta = 3/5 #.

# "Agora," cos2theta = 3/5 rArr cos (teta + teta) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … porque, "Fórmula de Adição" #

#:. cos ^ 2theta-sin ^ 2theta = 3/5, ou seja, #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2theta = 3/5 ou #

# 1-2sin ^ 2theta = 3/5 rArr sin ^ 2theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

Desde a, # (A + B) = 2ª # encontra-se em # Q_1, "o mesmo acontece" theta = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((A + B) / 2) = + 1 / sqrt5 = + sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii) #.