Mostrar que 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), para n> 1?

Responda:

Abaixo

Explicação:

Para mostrar que a desigualdade é verdadeira, você usa indução matemática

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # para #n> 1 #

Etapa 1: provar o verdadeiro # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Desde a # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, então #LHS> RHS #. Portanto, é verdade para # n = 2 #

Etapa 2: suponha que é verdade para # n = k # onde k é um inteiro e #k> 1 #

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)

Etapa 3: quando # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

ou seja # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # de (1) por suposição

=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Desde a #k> 1 #, então # -1 / sqrt (k + 1) <0 # e desde # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, então # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # assim # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Etapa 4: Pela prova de indução matemática, essa desigualdade é verdadeira para todos os inteiros # n # Melhor que #1#

A desigualdade como declarada é falsa.

Por exemplo, para #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (aprox. 2,3) cancelar (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (aprox. 2.8) #

Uma contradição.