O que é o GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Responda:

O maior divisor comum de #2^32-2^24+2^16-2^8+1# e #2^8+1# é #1#

Explicação:

Observe que:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

é um número primo - na verdade, um dos poucos números primos de Fermat conhecidos.

Então, os únicos possíveis fatores comuns de #2^8+1# e #2^32-2^24+2^16-2^8+1# está #1# e #257#.

No entanto, como você observou na pergunta:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

é da forma:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

O único fator # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # do #2^40+1# corresponde à quinta raiz real da unidade e # (x + y) # não é automaticamente um fator do restante quártico # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # cujos outros fatores lineares são todos complexos não reais.

Podemos dividir manualmente # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # por # x + y # para obter um resto polinomial e, em seguida, substituir # x = 2 ^ 8 # e # y = 1 # para verificar se este não é um caso especial …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Então o restante é:

# 5y ^ 4 = 5 (cor (azul) (1)) ^ 4 = 5 #

Como o restante é diferente de zero, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# e #2^8+1# não tem nenhum fator comum maior do que #1#.