Qual é o menor inteiro n tal que n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Responda:

# n = 8075 #

Explicação:

Deixei #v_p (k) # seja a multiplicidade de # p # como um fator de #k #. Isso é, #v_p (k) # é o maior número inteiro tal que # p ^ (v_p (k)) | k #.

Observações:

• Para qualquer #k em ZZ ^ + # e # p # primo, temos #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Isso pode ser facilmente comprovado por indução)

• Para qualquer inteiro #k> 1 #, temos # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Isso é intuitivo, como múltiplos poderes de #2# ocorrem mais frequentemente do que múltiplos de poderes equivalentes de #5#, e pode ser provado rigorosamente usando um argumento similar)

• Para #j, k em ZZ ^ + #, temos #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # para qualquer divisor principal # p # do # j #.

Continuando, nosso objetivo é encontrar o menor número inteiro # n # de tal modo que # 10 ^ 2016 | n! #. Como # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, então pela terceira observação, precisamos apenas confirmar que # 2016 <= v_2 (n!) # e # 2016 <= v_5 (n!) #. A segunda observação significa que a última implica a primeira. Assim, é suficiente encontrar o menor número inteiro # n # de tal modo que # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Encontrar # n # faremos uma observação que nos permitirá calcular # v_5 (5 ^ k!) #.

Entre #1# e # 5 ^ k #, há # 5 ^ k / 5 # múltiplos de #5#, cada um dos quais contribui com pelo menos #1# para a soma #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Há também # 5 ^ k / 25 # múltiplos de #25#, cada um dos quais contribui com um adicional #1# para a soma após a contagem inicial. Podemos prosseguir dessa maneira até chegarmos a um único múltiplo de # 5 ^ k # (qual é # 5 ^ k # propriamente dito), que contribuiu #k # vezes para a soma. Calculando a soma desta maneira, temos

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = soma_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = soma_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Assim, descobrimos que # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Finalmente, vamos encontrar # n # de tal modo que # v_5 (n!) = 2016 #. Se calcularmos # v_5 (5 ^ k!) # por vários valores de #k #, nós achamos

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Como #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # precisa de dois "blocos" de #5^5#, dois de #5^4#quatro #5^3#e três #5^2#. Assim, ficamos

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Um computador pode verificar rapidamente #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. portanto #10^2016 | 8075!#, e como #5|8075!# com multiplicidade #2016# e #5|8075#, está claro que nenhum valor menor será suficiente.