Responda:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k ou x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # para inteiro # k. #
Explicação:
Eu trabalhei isso de duas maneiras diferentes, mas acho que essa terceira maneira é melhor. Existem várias fórmulas de ângulo duplo para o cosseno. Não vamos ser tentados por nenhum deles. Vamos evitar equações de quadratura também.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
A combinação linear de cosseno e seno é um cosseno deslocado em fase.
Deixei # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # e
# theta = texto {Arc} text {tan} (2/1) #
Eu indiquei a principal tangente inversa, aqui no primeiro quadrante, por volta # theta = 63.4 ^ circ #. Estamos certos
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Então podemos reescrever nossa equação
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sen 2x sin theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = sin (-teta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + teta) #
Lembre-se sempre da solução geral para #cos x = cos a # é # x = pm a + 360 ^ circ k quad # para inteiro #k #.
# 2x - teta = pm (90 ^ circ + teta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + teta) + 360 ^ circ k #
# x = teta / 2 pm (45 ^ circ + teta / 2) + 180 ^ circ k #
Tomando os sinais um de cada vez, # x = teta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k ou x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = teta + 45 ^ circ # é uma constante, podemos tentar obter uma melhor expressão para:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Nós sabemos # phi # está no segundo quadrante, não no intervalo normal do valor principal.
#phi = texto {Arc} texto {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Isso acaba não importando porque estamos adicionando # 180 ^ circ k # para # phi # na solução geral de qualquer maneira. Colocando tudo junto, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k ou x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Não precisamos ser meticulosos quanto ao valor principal do arctan; já que estamos adicionando # 180 ^ circ k # qualquer valor fará. Nós poderíamos escrever o primeiro # x = arctan (-3) # com o # 180 ^ circ k # implícita, mas vamos deixar aqui.
